Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto

La resolucion de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto, requiere de dos ´ procedimientos (Caso 1 y Caso 2), en que se utilizan las mismas leyes de una ecuacion y de una inecuaci ´ on´ lineal normal. Definicion de Valor Absoluto ´ El valor absoluto de un numero real x se denota por ´ |x| y se define como sigue: |x| = ( x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 Veremos ahora unos teoremas que nos serviran para resolver las ecuaciones. ´ Teorema 1: Para cualquier numero real x: ´ 1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 ←→ x = 0 3. |x| 2 = x 2 4. √ x 2 = |x| 5. −|x| ≤ x ≤ |x|

1.

Por la propiedad 7

		o
		o
		o

Racionalización

Tipo 1

Fórmulas algebraicas

Monomios

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ

axⁿ − bxⁿ = (a − b)bxⁿ

axⁿ · bx^m = (a · b)bx^{n + m}

axⁿ : bx^m = (a : b)bx^{n − m}

(axⁿ)^m = a^mx^{n · m}

Productos notables

Binomios al cuadrado

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

Binomios al cubo

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Diferencia cuarta

a⁴ − b⁴ = (a + b) · (a − b) · (a² + b²)

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)² = a² + b² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Trinomio de segundo grado

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado

ax² + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada

ax⁴ + bx² + c = 0

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

 Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, 

Problemas de cardinalidad