Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto

La resolucion de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto, requiere de dos ´ procedimientos (Caso 1 y Caso 2), en que se utilizan las mismas leyes de una ecuacion y de una inecuaci ´ on´ lineal normal. Definicion de Valor Absoluto ´ El valor absoluto de un numero real x se denota por ´ |x| y se define como sigue: |x| = ( x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 Veremos ahora unos teoremas que nos serviran para resolver las ecuaciones. ´ Teorema 1: Para cualquier numero real x: ´ 1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 ←→ x = 0 3. |x| 2 = x 2 4. √ x 2 = |x| 5. −|x| ≤ x ≤ |x|

1.

Por la propiedad 7

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Racionalización

Tipo 1

Fórmulas algebraicas

Monomios

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ

axⁿ − bxⁿ = (a − b)bxⁿ

axⁿ · bx^m = (a · b)bx^{n + m}

axⁿ : bx^m = (a : b)bx^{n − m}

(axⁿ)^m = a^mx^{n · m}

Productos notables

Binomios al cuadrado

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

Binomios al cubo

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Diferencia cuarta

a⁴ − b⁴ = (a + b) · (a − b) · (a² + b²)

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)² = a² + b² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Trinomio de segundo grado

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado

ax² + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada

ax⁴ + bx² + c = 0

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

 Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, 

Problemas de cardinalidad

Conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógicapermite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de lateoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como lahipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

Razonamiento Lógico Matemático

Una receta exige 4 litros de agua: si tuvieras una jarra de 4 litros no habría problema pero no posees más  que 2 jarras sin graduar, una de 5 litros y otra de 3. ¿Es posible medir los 4 litros que  necesitamos?

A) No es posible

B) Es posible

C) Solo en forma aproximada

D) No se puede responder

E) Pregunta mal formulada

Formas proposicionales

Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores logicos que las relacionan.

Los operadores lógicos

Los operadores relacionales son símbolos que se usan para comparar dos valores. Si el resultado de la comparación es correcto la expresión considerada es verdadera, en caso contrario es falsa. Por ejemplo, 8>4 (ocho mayor que cuatro) es verdadera, se representa por el valor true del tipo básico boolean, en cambio, 8<4 (ocho menor que cuatro) es falsa, false. En la primera columna de la tabla, se dan los símbolos de los operadores relacionales, el la segunda, el nombre de dichos operadores, y a continuación su significado mediante un ejemplo.

Operador	nombre	ejemplo	significado
<	menor que	a<b	a es menor que b
>	mayor que	a>b	a es mayor que b
==	igual a	a==b	a es igual a b
!=	no igual a	a!=b	a no es igual a b
<=	menor que o igual a	a<=5	a es menor que o igual a b
>=	mayor que o igual a	a>=b	a es menor que o igual a b

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