Racionalización

Tipo 1

Fórmulas algebraicas

Monomios

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ

axⁿ − bxⁿ = (a − b)bxⁿ

axⁿ · bx^m = (a · b)bx^{n + m}

axⁿ : bx^m = (a : b)bx^{n − m}

(axⁿ)^m = a^mx^{n · m}

Productos notables

Binomios al cuadrado

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

Binomios al cubo

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Diferencia cuarta

a⁴ − b⁴ = (a + b) · (a − b) · (a² + b²)

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)² = a² + b² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Trinomio de segundo grado

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado

ax² + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada

ax⁴ + bx² + c = 0

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

 Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.